2.6 Interés compuesto, Limite de la Función costo y promedio

El interés compuesto representa el costo del dinero, beneficio o utilidad de un capital inicial (C) o principal a una tasa de interés (i) durante un período (t), en el cual los intereses que se obtienen al final de cada período de inversión no se retiran sino que se reinvierten o añaden al capital inicial; es decir, se capitalizan, produciendo un capital final (C_f).

Para un período determinado sería

Capital final (C_f) = capital inicial (C) más los intereses.

Veamos si podemos generalizarlo con un ejemplo:

Hagamos cálculos para saber el monto final de un depósito inicial de $ 1.000.000, a 5 años plazo con un interés compuesto de 10 % (como no se especifica, se subentiende que es 10 % anual).

Año	Depósito inicial	Interés	Saldo final
0 (inicio)	$1.000.000	($1.000.000 x 10% = ) $100.000	$1.100.000
1	$1.100.000	($1.100.000 × 10% = ) $110.000	$1.210.000
2	$1.210.000	($1.210.000× 10% = ) $121.000	$1.331.000
3	$1.331.000	($1.331.000 × 10% = ) $133.100	$1.464.100
4	$1.464.100	($1.464.100 × 10% = ) $146.410	$1.610.510
5	$1.610.510

Paso a paso resulta fácil calcular el interés sobre el depósito inicial y sumarlo para que esa suma sea el nuevo depósito inicial al empezar el segundo año, y así sucesivamente hasta llegar al monto final.

Resulta simple, pero hay muchos cálculos; para evitarlos usaremos una fórmula de tipo general:

En inversiones a interés compuesto, el capital final (C_f), que se obtiene a partir de un capital inicial (C), a una tasa de interés (i), en un tiempo (t), está dado por la fórmula:

Recordemos que i se expresa en forma decimal ya que corresponde a.
Y donde t corresponde al número de años durante los cuales se mantiene el depósito o se paga una deuda.

Como corolario a esta fórmula:

A partir de ella, puesto que el interés compuesto final (I) es la diferencia entre el capital final y el inicial, podríamos calcular la tasa de interés (i):

Sacamos factor común  C:

También podemos calcular la tasa de interés despejando en la fórmula de C_f:

En los problemas de interés compuesto i y t deben expresarse en la misma unidad de tiempo efectuando las conversiones apropiadas cuando estas variables correspondan a diferentes períodos de tiempo.

Periodos de interés compuesto

El interés compuesto no se calcula siempre por año, puede ser semestral, trimestral, al mes, al día, etc. ¡Pero si no es anual debería informarse!

Así, si la fórmula del interés compuesto se ha deducido para una tasa de interés anual durante t años, todo sigue siendo válido si los periodos de conversión son semestres, trimestres, días, etc.,  solo hay que convertir éstos a años.

Por ejemplo, si i se expresa en tasa anual y su aplicación como interés compuesto se valida en forma mensual, en ese caso i  debe dividirse por 12 . En seguida, la potencia t (el número de años) debe multiplicarse por 12 para mantener la unidad mensual de tiempo (12 meses por el número de años).

Si los periodos de conversión son semestrales, i se divide por 2 ya que el año tiene dos semestres (lo cual significa que los años los hemos convertido a semestres), por lo mismo, luego habrá que multiplicar la potencia t (el número de años) por 2 (el número de semestres de un año):

Suponiendo una tasa anual de 10%, hacemos del siguiente modo:

será igual a

Si los periodos de conversión son trimestrales, i se divide por 4 ya que el año tiene 4 trimestres (lo cual significa que los años los hemos convertido a trimestres) por lo mismo, luego habrá que multiplicar la potencia  t (el número de años) por 4 (el número de trimestres que hay en un año).

Del siguiente modo:

será igual a

En  general, en todos los casos donde haya que convertir a semestres, trimestres, meses, o días se multiplica por n semestres, trimestres, meses o días el 100 de la fórmula que es igual a .   La potencia t (en número de años) se debe multiplicar por el mismo valor  de n, en cada caso, así, suponiendo una tasa anual de 10%:

será igual a

Ver: PSU: Matemática, Pregunta 35_2010  

Ejercicios de práctica

Ejercicio Nº 1

Averiguar en qué se convierte un capital de 1.200.000 pesos al cabo de 5 años, y a una tasa de interés compuesto anual del 8 %.
 
Resolución: 
 
Aplicando la fórmula 

Reemplazamos con los valores conocidos:

En tasa de interés compuesto 

Capital inicial 

Tiempo en años (t) = 5

Respuesta:

El capital final es de 1.763.194 pesos.
  

Ejercicio Nº 2
 
Un cierto capital invertido durante 7 años a una tasa de interés compuesto anual del 10 % se ha convertido en 1.583.945 pesos. Calcular el capital inicial, sabiendo que los intereses se han pagado semestralmente.
 
Resolución:

Aplicando la fórmula 

Reemplazamos con los valores conocidos:

Capital final (Cf) = 1.583.945

En tasa de interés compuesto
Tiempo en años (t) = 7

Despejando C:

Respuesta:
 
Redondeando la cifra resultante, el capital inicial fue de 800.000 pesos.
  

Ejercicio Nº 3
 
Calcular la tasa de interés compuesto anual que se ha aplicado a un capital de 1.500.000 pesos para que al cabo de 4 años se haya convertido en 2.360.279 pesos.
 
Resolución:

Aplicando la fórmula 

Reemplazamos los valores conocidos:

Capital inicial (C ) = 1.500.000

Capital final (Cf) = 2.360.279

Tiempo en años (t) = 4

Reemplazamos con los valores conocidos:

Despejamos (1 + i)⁴

Redondeamos a 0,12 y multiplicamos por 100 (recuerda que i siempre se expresa como 

0,12 • 100 = 12 %

Respuesta:

La tasa de interés compuesto anual ha sido de 12 %.

Ejercicio Nº 4

Digamos que pretendemos tener $2.000.000 dentro de 5 años. Si el banco paga una tasa de 10% anual ¿cuánto necesitamos como capital inicial?

Aplicando la fórmula 

Reemplazamos con los valores conocidos:

Capital final (Cf) = 2.000.000
Tasa de interés compuesto  

Tiempo en años (t) = 5

Reemplazamos con los valores conocidos:

Respuesta:

Un capital inicial de $ 1.241.842,64 crecerá hasta $ 2.000.000 si lo invertimos al 10% durante 5 años.

Otro ejemplo

En general, si conocemos el capital final o valor futuro y queremos conocer el capital inicial o valor presente: Como sabemos que si multiplicamos un valor presente ( C ) por (1 + i)^t nos da el valor futuro o capital final(Cf), podemos dividir directamente el capital final (Cf)  por la tasa de interés compuesta (1 + i)^t para obtener el valor presente o actual.

Veamos un caso:

¿Cuánto hay que invertir ahora para tener $10.000.000 dentro de 10 años al 8% de interés?

A partir de la fórmula

Reemplazamos por los valores conocidos

Respuesta:

Entonces, $ 4.631.989 invertidos al 8% durante 10 años dan $10.000.000.

http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Interes_compuesto.html

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